Fils de l’imprimeur douaisien Achille Bassée, Léon Bassée fait ses études au lycée Henri IV à Paris où il a pour condisciple Georges Bonnet. Inscrit au barreau de Douai, il opte pour le journalisme et entre à l’agence Havas où il va faire toute sa carrière.
En 1938, il est chef du service politique de l’agence, c’est d’ailleurs lui qui, avant le président du Conseil Daladier, annonce, en avril 1938, à Bonnet sa nomination comme ministre des Affaires étrangères. En juillet 1938, Léon Bassée est nommé administrateur d’Havas. Il deviendra également Pdg de la Société européenne de publicité.
Léon Bassée est impliqué dans de nombreuses associations professionnelles. Il est membre du conseil d’administration de «L’Accueil français» fondé en 1936 pour les journalistes étrangers de passage en France, de l’association de «la Maison des journalistes». Il est président de l’Association internationale des journalistes accrédités auprès de la Société des nations.
Léon Bassée était commandeur de la Légion d’honneur.